Длинa пассиков

Ремонт старого магнитофона часто сопровождается заменой пассиков. Как правило, покупается заведомо известный размер, если есть соответствие. Пассики являются больным местом магнитофона, и замена аналогичными нередко сопровождается трудностями подбора. В основном это двухшкивная система передачи и для неё попробуем описать свой способ замера и расчёта.
Представим систему из двух шкивов с пассиком (рисунок). Обозначим характерные точки. Построим параллельную прямую (O_1 C)||(A_1 A). Так как (O_1 C) параллельна касательной (A_1 A), то и она имеет прямые углы с перпендикулярным радиусом к этой касательной. Рассмотрим прямоугольный треугольник \widehat{O_1C\ O}. Сторона |CO|=|R_2 – R_1|= Δr равна модулю разности радиусов шкивов, значит угол \widehat{O_1O\ C}\ =\arccos (∆r/L). Весь угол большого шкива: \begin{equation} \widehat{AOD}\ =2\pi\ -\ 2\arccos(\Delta r/L) =2(\pi\ -\ arccos(\Delta r/L)) \end{equation} Это значит, что длина дуги, огибаемая пассиком на большом шкиве: \begin{equation} \breve{|AD|}\ =2R_2\left(\pi\ -\ \cos^{-1}{\frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}}\right) \end{equation} Длина дуги огибаемая пассиком на малом шкиве: \begin{equation} \breve{|A_1E|}\ =2R_1\left(\cos^{-1}{\frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}}\right) \end{equation} Длина касательных: \begin{equation} \left|A_1A\right|=\left|ED\right|=\left|O_1C\right|=\sqrt{L^2-\left|R_2-R_1\right|^2} \end{equation} Общая длина пути пассика, обозначим её как (N): \begin{equation} N=2\sqrt{L^2-\left|R_2-R_1\right|^2}\ +2R_1\left(\cos^{-1}{\frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}}\right)+2R_2\left(\pi\ -\ \cos^{-1}{\frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}}\right)\ \ \ if\ \left|\begin{matrix}L>\left|R_2+R_1\right|\\\end{matrix}\right. \end{equation} При замерах используют линейку, а измеряемый пассик складывают вдвое. Вводим такое понятие, как полудлина пассика (n), то есть длина половины его пути: \begin{equation} n=N/2 \end{equation} А так же введём понятие коэффициента натяжения (k),он будет кратен отношению длины натянутого(n)к длине свободного (n_0)пассика: \begin{equation} k=\frac{n}{n_0} \end{equation} Итак, полудлина свободного пассика: \begin{equation} n_0=\frac{n}{\ k} \end{equation} Удобнее пользоваться диаметрами,(d_1)-диаметр малого,(d_2)-диаметр большого шкива,(L)-расстояние между осями этих шкивов: \begin{equation} N=\sqrt{4L^2-\left|d_2-d_1\right|^2}\ +d_1\left(\cos^{-1}{\frac{\left|d_2-d_1\right|}{2L}}\right)+d_2\left(\pi\ -\ \cos^{-1}{\frac{\left|d_2-d_1\right|}{2L}}\right)\ \ \ if\ \left|\begin{matrix}L>\left|R_2+R_1\right|\\\end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} n=\sqrt{L^2-\frac{\left|d_2-d_1\right|^2}{4}}\ +\frac{d_1}{2}\left(\cos^{-1}{\frac{\left|d_2-d_1\right|}{2L}}\right)+\frac{d_2}{2}\left(\pi\ -\ \cos^{-1}{\frac{\left|d_2-d_1\right|}{2L}}\right)\ \ \ if\ \left|\begin{matrix}L>\left|R_2+R_1\right|\\\end{matrix}\right. \end{equation} \begin{equation} n_0=\frac{\sqrt{L^2-\frac{\left|d_2-d_1\right|^2}{4}}\ +\frac{d_1}{2}\left(\cos^{-1}{\frac{\left|d_2-d_1\right|}{2L}}\right)+\frac{d_2}{2}\left(\pi\ -\ \cos^{-1}{\frac{\left|d_2-d_1\right|}{2L}}\right)}{k}\ \ \ if\ \left|\begin{matrix}L>\left|R_2+R_1\right|\\\end{matrix}\right. \end{equation} Для удобства программирования, представим формулу частями сумм: \begin{equation} \boxed{n_0=\frac{1}{k}\sqrt{L^2-\frac{\left| d_2-d_1 \right|^2}{4}} +\frac{d_1}{2k}\left( \cos^{-1}{\frac{\left| d_2-d_1 \right|}{2L}} \right) + \frac{d_2}{2k} \left( \pi\ - \cos^{-1}{\frac{\left| d_2-d_1 \right|}{2L}} \right) if\ \left|\begin{matrix}L>\left|R_2+R_1\right|\\\end{matrix}\right.} \end{equation} Мы не учитываем размеры сечения самого пассика, так как растяжка кратно больше и влияния почти не оказывает. Коэффициент натяжения подбирается опытным путём. Можно подобрать на ощупь, произвести замер в растянутом и свободном виде, размеры поделить. Для одного типа пассиков, это один и тот же коэффициент, не зависимо от его диаметра. Таким образом, подставив в формулу коэффициент, диаметры шкивов и расстояния между их центрами, можно с высокой точностью подобрать пассик. Существует упрощённый расчёт, основанный на синусах малых углов, расхождение результатов для большинства механизмов не критично.

Вывод приближённой формулы

Рассмотрим вывод приближённой формулы. Если угол \widehat{СO_1O} небольшой, то синус малого угла можно численно приравнять к самому углу в радианах. Погрешность, если угол не превышает 30° менее 4%.

\begin{equation} {sin}^{-1}{\frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}}\ \approx\frac{\left|R_2-R_1\right|}{L} \end{equation}

Арккосинус угла получаем из свойств прямоугольного треугольника:

\begin{equation} \ \cos^{-1}{\frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}}=\frac{\pi}{2}\ -\ {sin}^{-1}{\frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}}=\frac{\pi}{2}\ -\ \frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}\ \end{equation}

Преобразуем формулу (2). Длина дуги, огибаемая пассиком на большом шкиве:

\begin{equation} \breve{AD}\ = 2R_2\left(\pi\ -\ \cos^{-1}{\frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}}\right)\ \approx 2R_2\left(\frac{\pi}{2}\ +\ \frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}\right)\ \end{equation}

Преобразуем формулу (3). Длина дуги, огибаемая пассиком на малом шкиве:

\begin{equation} \breve{A_1E}\ =2R_1\left(\cos^{-1}{\frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}}\right) \approx 2R_1\left(\frac{\pi}{2}\ -\ \frac{\left|R_2-R_1\right|}{L}\right) \end{equation}

Длина касательных выходит из равнобедренного треугольника \widehat{FO_1O}, где дуга окружности радиусом ∆r, отсекаемой биссектрисой, примерно равна лишнему отрезку |CF|:

\begin{equation} \left|A_1A\right|=\left|ED\right|=\left|O_1C\right| = L - \left|CF \right| \approx L -\frac{\left.\left(R_2-R_1\right)\right.^2}{2L} \end{equation}

Учитывая приближения (15, 16, 17), эквивалент формулы (5) - общая длина пути пассика:

\begin{equation} N=2L-\frac{\left.\left(R_2-R_1 \right)\right.^2}{L}+2R_1\left (\frac{\pi}{2}\ -\ \frac{\left| R_2-R_1\right|}{L}\right)+2R_2\left( \frac{\pi}{2}\ +\ \frac{\left| R_2-R_1\right|}{L}\right)\ \ \ if\ \left| \begin{matrix}L>\left|R_2+R_1\right|\\R_2\geq R_1\\\end{matrix}\right. \end{equation}

Упрощаем:

\begin{equation} N=2L-\frac{\left. \left(R_2-R_1 \right)\right.^2}{L}\ + \pi{(R}_1+R_2)+\ \frac{2\left.\left(R_2-R_1\right)\right.^2}{L}\ \ if\ \left|\begin{matrix}L>\left|R_2+R_1\right|\\R_2\geq R_1\\\end{matrix}\right. \end{equation}

Переходим к диаметрам. Длина и полудлина пассика натянутого на шкивы:

\begin{equation} \boxed{N=2L+\frac{\pi}{2}{(d}_1+d_2)+\frac{\left.\left(d_2 -d_1\right)\right.^2}{4L}} \end{equation}
\begin{equation} \boxed{\frac{N}{2} = L + \frac{\pi}{4} (d_1 + d_2) + \frac{\left.\left(d_2 -d_1\right)\right.^2}{8L}} \end{equation}

Уравнения (20, 21) выражают длину и полудлину пассика надетого на шкивы и являются приближёнными, при условии, что расстояние (L) между осями шкивов больше суммы их радиусов L>\frac{1}{2}\left( d_2+d_1 \right). Ниже ссылка на онлайн расчёт пассика по точной формуле (12) с коэффициентом натяжения. Для сравнения формул (12) и (20, 21), установите в программе расчёта коэффициент натяжения (k = 1) равным единице. Коэффициент натяжения - это отношение длин (полудлин) натянутого на шкивы к свободному пассику. На практике последнее слагаемое в уравнениях (20, 21) можно исключить из-за его незначительности. По сути, мы находим средний диаметр, вычисляем длину окружности и прибавляем двойное расстояние между шкивами. В результате формулы (20, 21) упрощаются:

\begin{equation} \boxed{N=2L+ 1,57(d_1+d_2)} \end{equation}
\begin{equation} \boxed{\frac{N}{2} = L + 0,8 (d_1 + d_2)} \end{equation}

Copyright©Aleksei Tarasov (2021)

информация

К публикации готовится работа по длине пассиков многошкивного механизма, а так же программа.

онлайн расчёт пассиков